Vì hàm mũ được định nghĩa cho cả số phức, có thể mở rộng định nghĩa hàm hypebolic cho các đối số phức. Khi ấy các hàm sinh z và cosh z là những hàm chỉnh hình (Holomorphic function).

Các mối liên hệ giữa các hàm lượng giác thường được cho bởi công thức Euler và áp dụng cho các biến phức:

e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x e − i x = cos ⁡ x − i sin ⁡ x {\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\;\sin x\\e^{-ix}&=\cos x-i\;\sin x\end{aligned}}}

do đó:

cosh ⁡ ( i x ) = 1 2 ( e i x + e − i x ) = cos ⁡ x sinh ⁡ ( i x ) = 1 2 ( e i x − e − i x ) = i sin ⁡ x cosh ⁡ ( x + i y ) = cosh ⁡ ( x ) cos ⁡ ( y ) + i sinh ⁡ ( x ) sin ⁡ ( y ) sinh ⁡ ( x + i y ) = sinh ⁡ ( x ) cos ⁡ ( y ) + i cosh ⁡ ( x ) sin ⁡ ( y ) tanh ⁡ ( i x ) = i tan ⁡ x cosh ⁡ x = cos ⁡ ( i x ) sinh ⁡ x = − i sin ⁡ ( i x ) tanh ⁡ x = − i tan ⁡ ( i x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\cosh(x+iy)&=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\\tanh(ix)&=i\tan x\\\cosh x&=\cos(ix)\\\sinh x&=-i\sin(ix)\\\tanh x&=-i\tan(ix)\end{aligned}}}

Vì vậy các hàm hypebolic phức là những hàm tuần hoàn theo phần ảo, với chu kỳ 2 π i {\displaystyle 2\pi i} (và π i {\displaystyle \pi i} cho các hàm tang và cotang hypebolic).

Hàm hypebolic trong mặt phẳng phức

sinh ⁡ ( z ) {\displaystyle \operatorname {sinh} (z)}	cosh ⁡ ( z ) {\displaystyle \operatorname {cosh} (z)}	tanh ⁡ ( z ) {\displaystyle \operatorname {tanh} (z)}	coth ⁡ ( z ) {\displaystyle \operatorname {coth} (z)}	sech ⁡ ( z ) {\displaystyle \operatorname {sech} (z)}	csch ⁡ ( z ) {\displaystyle \operatorname {csch} (z)}